81 Вправа 81Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 20
Умова
НМТ. Які з наведених тверджень є правильними? І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники. ІІ. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів. ІІІ. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.
Розв'язок
81. НМТ. Які з наведених тверджень є правильними? І. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники. ІІ. Діагоналі паралелограма є бісектрисами його кутів. ІІІ. Менша діагональ паралелограма ділить його на два гострокутні трикутники.
І. Правильне — це властивість паралелограма (теорема 3).
ІІ. Неправильне. Наприклад, у паралелограмі зі сторонами 3 см і 5 см діагональ AC не є бісектрисою кута A:
якби ∠BAC = ∠CAD, то ∠BAC = ∠BCA (∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні) і AB = BC, а 3 ≠ 5.
ІІІ. Неправильне. Наприклад, візьмемо паралелограм ABCD, у якому AB = BD і BD ⊥ AB (як у задачі 66).
Нехай O — точка перетину діагоналей. У прямокутному △ABO гіпотенуза AO більша за катет AB, тому AC = 2AO > 2AB = 2BD > BD. Отже, BD — менша діагональ.
Вона ділить паралелограм на прямокутні трикутники ABD і CDB (∠ABD = ∠CDB = 90°), а не на гострокутні.
Відповідь: лише І.