93 Вправа 93Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

93. Середини півдіагоналей M, N, P, K паралелограма ABCD послідовно сполучили відрізками (мал. 2.19). Доведи, що чотирикутник MNPK — паралелограм.

1 спосіб:

Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл (теорема 3):

BO = OD, AO = OC. В паралелограмі ABCD BM = MO, CN = NO, AK = KO і OP = PD, тому MO = OP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BO, KO = ON = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AO.

△MOK = △PON, бо MO = OP, KO = ON і ∠MOK = ∠PON як вертикальні. Аналогічно △MON = △POK. Отже, MK = PN і MN = PK, тому чотирикутник MNPK — паралелограм.

2 спосіб:

△MON = △POK за двома сторонами і кутом між ними (MO = OP, NO = OK, ∠MON = ∠POK), тоді MN = PK.

△MOK = △PON за двома сторонами і кутом між ними (MO = OP, OK = ON, ∠MOK = ∠PON), тоді MK = PN.

Оскільки MN = PK, MK = PN, то MNPK — паралелограм.