94 Вправа 94Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

94. Доведи, що бісектриси кутів паралелограма з нерівними сторонами, перетинаючись, утворюють паралелограм.

1 спосіб:

За умовою в паралелограмі ABCD, сторони якого мають різну довжину, проведено бісектриси всіх його кутів. Для будь-якого паралелограма бісектриси його кутів, прилеглих до однієї сторони, перетинаються під прямим кутом (див. задачу № 64). Тому всі кути чотирикутника MNPK дорівнюють 90°.

Тоді MN ⊥ MK і PK ⊥ MK, отже, MN ∥ PK (дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні). Так само MK ⊥ MN і NP ⊥ MN, отже, MK ∥ NP. Тому MNPK — паралелограм (за означенням).

(Якби сторони паралелограма були рівні, то бісектриси збігалися б з діагоналями і перетиналися б в одній точці.)

2 спосіб:

AP — бісектриса кута A, тоді ∠BAP = ∠PAD. Оскільки BC ∥ AD, то ∠PAD = ∠BPA. Оскільки CL — бісектриса кута C, то ∠PCL = ∠LCD. Оскільки ∠A = ∠C, то ∠PCL = ∠BPA. Оскільки кути PCL і BPA — відповідні кути при прямих AP і CL та січній BC і ∠PCL = ∠BPA, то PA ∥ CL, тоді MN ∥ LK.

BQ — бісектриса кута B, DN — бісектриса кута D, а кути B і D — рівні, то ∠ABQ = ∠QBC = ∠ADN = ∠NDC. Оскільки AD ∥ BC, то ∠AQB = ∠QBC, тоді ∠AQB = ∠ADN. Оскільки кути AQB і ADN — відповідні кути при прямих BQ і DN та січній AD і ∠AQB = ∠ADN, то BQ ∥ DN, тоді ML ∥ KN.

Оскільки MN ∥ LK, ML ∥ KN, то MNKL — паралелограм.