64 Вправа 64Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 19

64. Під яким кутом перетинаються бісектриси двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони?

1 спосіб:

Якщо AO і BO — бісектриси кутів A і B, то ∠BAO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A, ∠ABO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B. ABCD — паралелограм, тому

∠BAO + ∠ABO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠A + ∠B) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 180° = 90°.

З трикутника ABO отримуємо:

∠AOB = 180° − ∠BAO − ∠ABO = 180° − 90° = 90°.

Тим самим доведено ствердження: у будь-якому паралелограмі бісектриси його кутів, прилеглих до однієї сторони, перетинаються під прямим кутом.

2 спосіб:

Нехай ∠DAM = ∠MAB, ∠ABM = ∠MBC, тоді

∠AMB = 180° − ∠BAM − ∠ABM =

= 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠ABC − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠BAD =

= 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠ABC + ∠BAD) = 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 180° = 180° − 90° = 90°.

Отже, бісектриси двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, перетинаються під кутом 90°.

Відповідь: 90°.