91 Вправа 91Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

91. На діагоналі AC паралелограма ABCD позначили точки M і N так, що AM = CN. Доведи, що чотирикутник MBND — паралелограм.

1 спосіб:

В паралелограмі ABCD AM = CN. AC — січна при паралельних прямих AB і CD та прямих BC і AD, тому ∠BAM = ∠DCN і ∠BCN = ∠DAM як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD та прямих BC і AD відповідно. AB = CD і BC = AD як протилежні сторони паралелограма, AM = CN за умовою, тому △ABM = △CDN і △BCN = △DAM. Отже, BM = DN і BN = DM, тобто BNDM — паралелограм.

2 спосіб:

△BCN = △DMA за двома сторонами і кутом між ними (BC = AD, CN = AM, ∠BCN = ∠DAM). Із рівності трикутників випливає, що BN = MD.

△BMA = △DNC за двома сторонами і кутом між ними (AB = CD, AM = CN, ∠BAM = ∠DCN). Із рівності трикутників маємо BM = DN.

Оскільки BM = DN, BN = MD, то MBND — паралелограм.