66 Вправа 66Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 19

66. Знайди кути паралелограма, якщо одна з його діагоналей дорівнює стороні паралелограма і перпендикулярна до неї.

1 спосіб:

Нехай в паралелограмі ABCD AB = BD і ∠ABD = 90°. Оскільки ABCD — паралелограм, то AB ∥ CD, тому ∠ABD = ∠BDC = 90° як внутрішні різносторонні, утворені січною BD з паралельними прямими AB і CD.

Трикутник ABD — прямокутний, тому ∠A + ∠ADB = 90°. З паралельності прямих BC і AD та січної BD маємо рівність кутів: ∠CBD = ∠ADB. ∠A і ∠B — кути, прилеглі до однієї сторони паралелограма, тому ∠A + ∠B = 180°. За умовою AB = BD, тобто △ABD — рівнобедрений, що означає: ∠A = ∠ADB = 45°. Отже, ∠CBD = 45° і ∠B = 90° + 45° = 135°. Таким чином, шукані кути дорівнюють 45° і 135°.

2 спосіб:

Нехай AB = BD, ∠ABD = 90°.

△ABD — рівнобедрений, тоді ∠A = ∠ADB = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{90}^{\circ }}{2}}$ = 45°.

∠C = ∠A = 45°,

∠ABC = ∠ADC = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°.

Відповідь: 45°, 135°, 45°, 135°.