59 Вправа 59Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 18

59. Обчисли кути паралелограма, якщо: а) один із кутів на 20° менший від другого; б) один із кутів у 5 разів більший за другий; в) два з них пропорційні числам 4 і 5; г) різниця двох із них дорівнює 40°.

1 спосіб:

Протилежні кути паралелограма рівні, тому в кожному пункті йдеться про два сусідні кути, сума яких дорівнює 180°.

а) Нехай міра меншого кута дорівнює x, тоді міра більшого кута становить x + 20°. Оскільки сума цих кутів дорівнює 180°, маємо

x + x + 20° = 180°;

2x = 180° − 20°;

2x = 160°;

x = 80°;

x + 20° = 100°.

б) Якщо x — міра меншого кута, то 5x — міра більшого кута. Тоді

x + 5x = 180°;

6x = 180°;

x = 30°;

5x = 5 · 30° = 150°.

в) Можна вважати, що 4x і 5x — шукані міри кутів, де x — деяке число. Тоді

4x + 5x = 180°;

9x = 180°;

x = 20°.

4 · 20° = 80°, 5 · 20° = 100° — шукані кути.

г) Нехай x — менша міра кута, тоді x + 40° — міра більшого кута, тоді

x + x + 40° = 180°;

2x = 180° − 40°;

2x = 140°;

x = 70°.

Отже, менший кут паралелограма дорівнює 70°, а його більший кут 70° + 40° = 110°.

2 спосіб:

а) Нехай ∠B − ∠A = 20°, тоді оскільки ∠A + ∠B = 180°, то

∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{20}^{\circ }}{2}}$ = 80°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{20}^{\circ }}{2}}$ = 100°.

∠C = ∠A = 80°, ∠D = ∠B = 100°.

б) Нехай ∠B = 5∠A, тоді

∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 5}{1+5}}$ = 150°, ∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 1}{1+5}}$ = 30°.

∠C = ∠A = 30°, ∠D = ∠B = 150°.

в) Нехай ∠A : ∠B = 4 : 5, оскільки ∠A + ∠B = 180°, то

∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 4}{4+5}}$ = 80°, ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 5}{4+5}}$ = 100°.

Тоді ∠C = ∠A = 80°, ∠D = ∠B = 100°.

г) Нехай ∠B − ∠A = 40°, оскільки ∠B + ∠A = 180°, то

∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }+{40}^{\circ }}{2}}$ = 110°, ∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{40}^{\circ }}{2}}$ = 70°.

Тоді ∠C = ∠A = 70°, ∠D = ∠B = 110°.

Відповідь: а) 80°, 100°, 80°, 100°; б) 30°, 150°, 30°, 150°; в) 80°, 100°, 80°, 100°; г) 70°, 110°, 70°, 110°.