86 Вправа 86Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

86. Бісектриса ∠A ділить сторону CD паралелограма ABCD у точці M так, що CM − MD = 2 см. Знайди сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 34 см.

1 спосіб:

За умовою задачі ∠BAM = ∠MAD і CM − MD = 2 см. Але ∠AMD = ∠BAM як внутрішні різносторонні з січною AM і паралельними прямими AB та CD. Тому △AMD — рівнобедрений, MD = AD = x. Тоді CM = x + 2 і CD = CM + MD = 2x + 2. Згідно умови задачі 2(AD + CD) = 34. Отже,

2(x + 2x + 2) = 34;

3x + 2 = 17;

3x = 15;

x = 5.

Тоді 2x + 2 = 2 · 5 + 2 = 12. Таким чином, AD = 5 см, CD = 12 см.

2 спосіб:

Оскільки ∠BAM = ∠MAD (бо AM — бісектриса) і ∠BAM = ∠AMD (бо AB ∥ CD), то ∠MAD = ∠AMD, △AMD — рівнобедрений, тому AD = MD.

Нехай MD = x см, тоді CM = (x + 2) см, AD = x см, CD = (2x + 2) см.

2(x + x + x + 2) = 34;

3x + 2 = 17;

3x = 15;

x = 5.

Отже, AD = BC = 5 см, CD = AB = 2 · 5 + 2 = 12 (см).

Відповідь: 5 см, 12 см, 5 см, 12 см.