97 Вправа 97Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

97. Діагональ AC паралелограма ABCD є бісектрисою кута A. Доведи, що діагоналі паралелограма перпендикулярні.

Дано: пар-м ABCD; AC – бісектриса ∠A.

Довести: AC ⊥ BD.

Доведення:

∠BAC = ∠CAD – AC бісектриса; ∠BCA = ∠CAD – внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній AC.

Тоді ∠BAC = ∠BCA, тому △ABC – рівнобедрений, AB = BC.

Нехай O – точка перетину діагоналей. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл (теорема 3), тому AO = OC.

Отже, BO – медіана рівнобедреного △ABC, проведена до основи AC, а значить, і його висота: BO ⊥ AC.

Тобто BD ⊥ AC, що і потрібно було довести.