92 Вправа 92Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

92. ABCD — паралелограм (мал. 2.18). Доведи, що MNPK — паралелограм, якщо AM = AK = CN = CP.

1 спосіб:

В паралелограмі ABCD AM = AK = CN = CP. Крім того ∠A = ∠C як протилежні кути паралелограма. Отже, △AMK = △CPN (AM = CP, AK = CN), тобто MK = PN. З рівності AM = CP маємо MB = PD, а з рівності AK = CN маємо KD = BN. ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма, тому △MBN = △PDK, тобто MN = PK. В чотирикутнику MNPK протилежні сторони рівні між собою, тому згідно з теоремою 4 MNPK — паралелограм.

2 спосіб:

△MAK = △PCN за двома сторонами і кутом між ними, тоді MK = PN.

△MBN = △PDK за двома сторонами і кутом між ними (BM = PD — як різниця рівних сторін AB − AM = CD − CP, BN = KD — як різниці рівних сторін BC − NC = AD − AK, ∠B = ∠D), тоді MN = PK.

Оскільки MN = PK, MK = PN, то MNPK — паралелограм.