87 Вправа 87Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

87. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса його кута ділить одну зі сторін на відрізки завдовжки 5 см і 3 см. Скільки розв'язків має задача?

1 спосіб:

Нехай AM — бісектриса кута A, M ∈ CD. Оскільки ∠BAM = ∠MAD і ∠BAM = ∠AMD (внутрішні різносторонні при AB ∥ CD), то ∠MAD = ∠AMD, △AMD — рівнобедрений, тобто AD = MD.

1) CM = 5 см, MD = 3 см. Тоді AD = MD = 3 см, CD = CM + MD = 8 (см).

P = 2(AD + CD) = 2 · (3 + 8) = 22 (см).

2) CM = 3 см, MD = 5 см. Тоді AD = MD = 5 см, CD = 8 см.

P = 2(AD + CD) = 2 · (5 + 8) = 26 (см).

2 спосіб:

Можливі два випадки.

1) BM = 5 см, MC = 3 см.

Оскільки ∠BAM = ∠MAD (бо AM — бісектриса), ∠BMA = ∠MAD (бо BC ∥ AD), то ∠BAM = ∠BMA, AB = BM = 5 см.

PABCD = 2(AB + BC) = 2(5 + 8) = 2 · 13 = 26 (см).

2) BM = 3 см, MC = 5 см.

Оскільки ∠BAM = ∠MAD (бо AM — бісектриса), ∠BMA = ∠MAD (бо BC ∥ DA), то ∠BAM = ∠BMA, AB = BM = 3 см.

PABCD = 2(AB + BC) = 2(3 + 8) = 2 · 11 = 22 (см).

Відповідь: 22 см або 26 см; два розв'язки.