95 Вправа 95Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 2 · стор. 21

95. Доведи, що бісектриси зовнішніх кутів паралелограма, перетинаючись, утворюють паралелограм.

1 спосіб:

В паралелограмі ABCD проведено бісектриси його зовнішніх кутів, що перетинаються в точках M, N, P і K. Зовнішні кути при вершинах A і B дорівнюють 180° − ∠A і 180° − ∠B, а їх сума:

360° − (∠A + ∠B) = 360° − 180° = 180°.

Тоді в △AMB: ∠MAB + ∠MBA = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 180° = 90°, отже, ∠M = 180° − 90° = 90°. Так само ∠N = ∠P = ∠K = 90°.

Тоді MN ⊥ MK і KP ⊥ MK, отже, MN ∥ KP; MK ⊥ MN і NP ⊥ MN, отже, MK ∥ NP. Тому чотирикутник MNPK — паралелограм (за означенням).

2 спосіб:

Нехай AM, BN, CK, DL — бісектриси зовнішніх кутів паралелограма ABCD. Оскільки ∠A = ∠C, то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, оскільки ∠B = ∠D, то ∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8.

△BNC = △DLA за стороною і двома прилеглими кутами (BC = AD, ∠6 = ∠7, ∠NCB = ∠LAD — як вертикальні кути до рівних кутів ∠1 = ∠4), тоді BN = LD, NC = AL.

△ABM = △CDK за стороною і двома прилеглими кутами (AB = CD, ∠2 = ∠3, ∠MBA = ∠KDC — як вертикальні кути до рівних кутів ∠5 = ∠8), тоді MB = DK, AM = CK.

Оскільки MN = LK (як сума рівних відрізків MB + BN = DK + LD), ML = NK (як сума рівних відрізків MA + AL = NC + CK), то MNKL — паралелограм згідно з ознакою паралелограма.