135 Вправа 135Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 28

135. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то він — прямокутник. Доведи.

Нехай в паралелограмі ABCD маємо AC = BD.

△BAD = △CDA за трьома сторонами (AB = CD, AD = AD, BD = AC), тоді ∠BAD = ∠CDA.

Оскільки ∠BAD + ∠CDA = 180° і ∠BAD = ∠CDA, то ∠BAD = ∠CDA = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{2}}$ = 90°, тоді

∠ABC = ∠DCB = 180° − ∠BAD = 180° − 90° = 90°.

Оскільки ∠BAD = ∠ADC = ∠DCB = ∠CBA = 90°, то паралелограм ABCD — прямокутник.