179 Вправа 179Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 31

179. У квадрат ABCD вписано прямокутник MNPK (мал. 3.24). Доведи, що довжина діагоналі квадрата дорівнює півпериметру прямокутника.

Оскільки NP ∥ AC, то ∠BNP = ∠BAC = 45°, ∠BPN = ∠BCA = 45°, тоді

∠ANM = ∠CPK = 180° − 90° − 45° = 45°.

Оскільки MK ∥ AC, то ∠KMD = ∠CAD = 45°, ∠MKD = ∠ACD = 45°, тоді

∠AMN = ∠CKP = 180° − 90° − 45° = 45°.

△PKC = △MAN як рівнобедрені прямокутні трикутники з рівними гіпотенузами, тоді PC = CK = AM = AN.

△PLC = △KLC = △MFA = △NFA як рівнобедрені прямокутні трикутники з рівними гіпотенузами, тоді AF = NF = FM = CL = PL = LK.

Тоді AC = AF + FL + LC = FM + MK + LK =

= FM + NF + MK = NM + MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$PMNPK.

Отже, довжина діагоналі квадрата дорівнює півпериметру прямокутника.