181 Вправа 181Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 32

181. На сторонах BC і CD ромба ABCD у зовнішню сторону побудовано квадрати BMNC і CKPD. Доведи, що AM = AP, AM ⊥ AP.

Дано: ABCD — ромб; BMNC і CKPD — квадрати.

Довести: AM = AP; AM ⊥ AP.

Доведення:

AB = BC = BM, AD = CD = DP (сторони ромба і квадратів).

∠ABM = ∠ABC + 90°, ∠ADP = ∠ADC + 90°, ∠ABC = ∠ADC, тому ∠ABM = ∠ADP.

△ABM = △ADP (за двома сторонами і кутом між ними), тому AM = AP.

△ABM — рівнобедрений: ∠BAM = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-(\angle \mathrm{B}+{90}^{\circ })}{2}}$ = 45° − ${\displaystyle \frac{\angle \mathrm{B}}{2}}$.

Аналогічно ∠DAP = 45° − ${\displaystyle \frac{\angle \mathrm{B}}{2}}$.

∠BAD = 180° − ∠B.

∠MAP = ∠BAD − ∠BAM − ∠DAP = 180° − ∠B − 2(45° − ${\displaystyle \frac{\angle \mathrm{B}}{2}}$) = 90°.

Отже, AM ⊥ AP.

(Якщо кут B ромба тупий, доведення аналогічне.)