162 Вправа 162Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 30

162. З вершини B прямокутника ABCD опущено перпендикуляр BK на діагональ AC, K ∈ AC. У якому відношенні точка K ділить AC, якщо AB = 6 см і ∠ABK : ∠KBC = 1 : 2?

ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, AB = 6 см, ∠ABK : ∠KBC = 1 : 2.

Оскільки ∠ABC = 90° та ∠ABK : ∠KBC = 1 : 2, то

∠ABK = ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }\cdot 1}{1+2}}$ = 30°, ∠KBC = ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }\cdot 2}{1+2}}$ = 60°.

Із прямокутного трикутника ABK (∠ABK = 30°) маємо AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 6 = 3 (см).

Із прямокутного трикутника ABC (∠BCA = 90° − ∠KBC = 90° − 60° = 30°) маємо AC = 2AB = 2 · 6 = 12 (см).

Тоді KC = AC − AK = 12 − 3 = 9 (см).

Отже, AK : KC = ${\displaystyle \frac{3}{9}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Відповідь: AK : KC = 1 : 3.