178 Вправа 178Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 31

178. Точки M, N, P, K ділять сторони квадрата ABCD у відношенні 1 : 2 (мал. 3.23). Доведи, що MNPK — квадрат.

ABCD — квадрат, MB = 2AM, NC = 2BN, PD = 2CP, AK = 2KD.

Оскільки AB = BC = CD = AD, то BN = CP = DK = AM, BM = NC = PD = AK.

Тоді △NBM = △PCN = △KDP = △MAK за двома катетами, звідси NM = PN = KP = MK,

∠BMN = ∠CNP = ∠DPK = ∠AKM = α, ∠BNM = ∠CPN = ∠DKP = ∠AMK = β, причому α + β = 90°.

Оскільки в чотирикутнику MNPK сторони рівні, MNPK — ромб (№ 168).

∠MNP = 180° − (α + β) = 180° − 90° = 90°.

Ромб MNPK, у якого кут MNP дорівнює 90°, є квадратом.

Отже, MNPK — квадрат.