177 Вправа 177Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 31

177. На сторонах квадрата, зовні від нього, побудовано рівносторонні трикутники, вершини яких послідовно сполучено. Доведи, що утворений чотирикутник — квадрат (мал. 3.22).

Нехай ABCD — квадрат, ABK, BCP, CDT, DAN — рівносторонні трикутники.

∠KBP = ∠PCT = ∠TDN = ∠KAN = 360° − 90° − 60° − 60° = 150°.

△KBP = △PCT = △TDN = △NAK за двома сторонами і кутом між ними (KB = BP = PC = CT = TD = DN = NA = KA, ∠KBP = ∠PCT = ∠TDN = ∠KAN), тоді KP = PT = TN = NK.

Чотирикутник KPTN, у якого всі сторони рівні, є ромбом (№ 168).

Оскільки △KBP, △PCT, △TDN, △NAK — рівнобедрені, то їх гострі кути дорівнюють по ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{150}^{\circ }}{2}}$ = 15°, тоді

∠KPT = ∠PTN = ∠TNK = ∠NKP = 60° + 15° + 15° = 90°.

Ромб KPTN, у якого прямі кути, є квадратом. Отже, KPTN — квадрат.