155 Вправа 155Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 29

155. Доведи, що точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від сторін квадрата.

1 спосіб:

Дано: ABCD — квадрат; O — точка перетину діагоналей; OK ⊥ AB, OL ⊥ BC, OM ⊥ CD, ON ⊥ AD.

Довести: OK = OL = OM = ON.

Доведення:

OA = OB = OC = OD (діагоналі квадрата рівні і точкою перетину діляться навпіл).

Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тому ∠OAK = ∠OBL = ∠OCM = ∠ODN = 45°.

△AKO = △BLO = △CMO = △DNO (за гіпотенузою і гострим кутом).

Отже, OK = OL = OM = ON.

2 спосіб:

△AOB і △BOC:

AB = BC (сторони квадрата), OA = OC (діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл), OB — спільна.

△AOB = △BOC (за трьома сторонами).

OK і OL — висоти рівних трикутників, проведені до рівних сторін AB і BC, тому OK = OL.

Аналогічно OL = OM, OM = ON.

Отже, OK = OL = OM = ON.