166 Вправа 166Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 30

166. Дано прямокутний рівнобедрений трикутник. Якщо з будь-якої точки гіпотенузи опустити перпендикуляри на катети, то утвориться прямокутник, півпериметр якого дорівнює катету. Доведи.

△ABC — прямокутний рівнобедрений, тоді ∠A = ∠B = ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}$ = 45°.

MK ⊥ AC, ML ⊥ BC, тоді KMLC — прямокутник.

△AKM і △MLB — прямокутні рівнобедрені трикутники (бо ∠A = ∠KMA = 45°, ∠B = ∠LMB = 45°), тоді AK = KM, LM = LB.

KM + ML = AK + KC = AC.

Оскільки KM + ML = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$PKMLC, то ${\displaystyle \frac{1}{2}}$PKMLC = AC.

Отже, півпериметр прямокутника дорівнює катету трикутника.