146 Вправа 146Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 29

146. Кути ромба пропорційні числам 1 і 2. Знайди меншу діагональ ромба, якщо його периметр дорівнює 40 см.

1 спосіб:

Можна вважати, що кути ромба мають міру x та 2x, де x — деяке число. Але

x + 2x = 180°;

3x = 180°;

x = 60°;

2x = 120°.

Отже, кути ромба дорівнюють 60° і 120°.

За умовою периметр ромба P = 40 см. Тоді 4AB = 40, AB = 10 (см).

Оскільки ∠A = 60° і AB = AD, то трикутник ABD — рівносторонній, тобто BD = AB = 10 (см).

Отже, менша діагональ ромба дорівнює 10 см.

2 спосіб:

ABCD — ромб, ∠B : ∠BAD = 1 : 2, PABCD = 40 см.

Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то ∠B = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot 1}{1+2}}$ = 60°.

Оскільки трикутник ABC — рівнобедрений (AB = BC — як сторони ромба), то

∠BAC = ∠ACB = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-\angle \mathrm{B}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}}$ = 60°,

тоді △ABC — рівносторонній та

AC = AB = ${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABCD}}}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{40}{4}}$ = 10 (см).

Відповідь: 10 см.