152 Вправа 152Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 29
Умова
M, N, P, K — середини сторін квадрата ABCD. Доведи, що MNPK — квадрат.
Розв'язок
152. M, N, P, K — середини сторін квадрата ABCD. Доведи, що MNPK — квадрат.
ABCD — квадрат, AM = MB, BN = NC, CP = PD, DK = AK.
△MBN = △NCP = △PDK = △KAM (за двома катетами), тоді MN = NP = PK = MK.
Оскільки кожен з цих трикутників — рівнобедрений, то
∠BMN = ∠BNM = ∠CNP = ∠CPN = ∠DPK = ∠PKD = ∠AKM = ∠AMK = 45°, тоді
∠KMN = ∠MNP = ∠NPK = ∠PKM = 180° − 45° − 45° = 90°.
Оскільки в чотирикутника MNPK всі кути прямі і всі сторони рівні, то MNPK — квадрат.