165 Вправа 165Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 3 · стор. 30

165. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах (мал. 3.19). Знайди периметр прямокутника, якщо його сторони пропорційні числам 2 і 5, а довжина гіпотенузи дорівнює 18 см.

ABC — прямокутний рівнобедрений трикутник, AB = 18 см, тоді ∠A = ∠B = ${\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{2}}$ = 45°.

MNKL — прямокутник, KL : ML = 2 : 5.

△AMN і △KLB — прямокутні рівнобедрені трикутники (оскільки ∠NMA = ∠KLB = 90°, ∠ANM = ∠LKB = 90° − 45° = 45°), тоді AM = NM, LB = KL.

Нехай KL = 2x см, тоді ML = 5x см.

Враховуючи, що AB = ML + 2KL, маємо

5x + 4x = 18;

9x = 18;

x = 2.

Тоді KL = 2 · 2 = 4 (см), ML = 5 · 2 = 10 (см).

PMNKL = 2(KL + ML) = 2(4 + 10) = 28 (см).

Відповідь: 28 см.