1113 Вправа 1113Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 207

1113. Обчисліть площу рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює бічній стороні і має 2 см, а кут при більшій основі становить: а) 60°; б) 30°; в) 45°.

а)

ABCD – трапеція. AB = BC = CD = 2 см, ∠A = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD;

CM ⊥ AD, △ABK = △DCM (∠K = ∠M = 90°;

AB = DC;

BK = CM).

BCMK — прямокутник, тому KM = BC = 2 см.

З △ABK — прямокутного, у якого ∠A = 60°, ∠ABK = 30°; AK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 1 см.

BK = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AB}²-\mathrm{AK}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{2²-1²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{4-1}}$ = ${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см) (теорема Піфагора).

AD = AK + KM + MD = 1 + 2 + 1 = 4 (см).

S = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BK = ${\displaystyle \frac{2+4}{2}}$ · ${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 3${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см²).

б)

∠A = 30°, тоді з △ABK: BK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 1 см.

AK = ${\displaystyle \sqrt{2²-1²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см) (теорема Піфагора).

AD = 2${\displaystyle \sqrt{3}}$ + 2 (см).

S = ${\displaystyle \frac{2+2\sqrt{3}+2}{2}}$ · 1 = 2 + ${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см²).

в)

∠A = 45°, △ABK — рівнобедрений, AK = BK.

За теоремою Піфагора AK² + BK² = AB²;

2AK² = 4;

AK² = 2, AK = ${\displaystyle \sqrt{2}}$ (см).

Тоді BK = ${\displaystyle \sqrt{2}}$ см; AD = 2${\displaystyle \sqrt{2}}$ + 2 (см).

S = ${\displaystyle \frac{2+2\sqrt{2}+2}{2}}$ · ${\displaystyle \sqrt{2}}$ = (2 + ${\displaystyle \sqrt{2}}$) · ${\displaystyle \sqrt{2}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{2}}$ + 2 (см²).

Відповідь: а) 3${\displaystyle \sqrt{3}}$ см²; б) (2 + ${\displaystyle \sqrt{3}}$) см²; в) (2 + 2${\displaystyle \sqrt{2}}$) см².