1146 Вправа 1146Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 209

1146. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо її більша основа дорівнює 22 см, бічна сторона 8,5 см і діагональ 19,5 см.

ABCD — трапеція. AB = CD = 8,5 см. AC = 19,5 см; AD = 22 см.

Проведемо CK ⊥ AD. Нехай AK = x, тоді KD = 22 – x.

△ACK — прямокутний, за теоремою Піфагора:

CK² = 19,5² – x².

△DCK — прямокутний, за теоремою Піфагора:

CK² = 8,5² – (22 – x)².

Звідси 19,5² – x² = 8,5² – (22 – x)²;

380,25 – x² = 72,25 – 484 + 44x – x²;

–44x = –792;

x = 18.

Отже, AK = 18 см, тоді KD = 4 см.

Проведемо BN ⊥ AD: AN = KD = 4 см, тоді NK = 18 – 4 = 14 (см), BC = NK = 14 см.

З △CKD: CK = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{CD}²-\mathrm{KD}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{8,5²-4²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{72,25-16}}$ = ${\displaystyle \sqrt{56,25}}$ = 7,5 (см).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · CK = ${\displaystyle \frac{14+22}{2}}$ · 7,5 = 135 (см²).

Відповідь: 135 см².