1138 Вправа 1138Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 209

1138. У рівнобічну трапецію вписано коло радіуса 3 см. Знайди сторони трапеції, якщо її площа дорівнює 60 см².

ABCD — трапеція, AB = CD, SABCD = 60 см².

O — центр вписаного кола; r = 3 см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · h; h = 2r = 6 (см).

${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · 6 = 60;

BC + AD = 20 (см).

Якщо в трапецію вписане коло, то BC + AD = AB + CD.

Отже, AB + CD = 20 см, до того ж AB = CD, тому AB = 10 см; CD = 10 см.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD; BCMK — прямокутник.

Нехай BC = KM = x;

AD = 20 – x.

△ABK = △DCM, тому AK = MD = ${\displaystyle \frac{20-\mathrm{x}-\mathrm{x}}{2}}$ = 10 – x.

З △ABK прямокутного: AK² + BK² = AB² (теорема Піфагора).

(10 – x)² + 6² = 10²;

(10 – x)² = 100 – 36;

(10 – x)² = 64;

10 – x = 8;

x = 2.

Отже, BC = 2 см, тоді AD = 20 – 2 = 18 (см).

Відповідь: AB = CD = 10 см; BC = 2 см; AD = 18 см.