1139 Вправа 1139Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 209

1139. Знайди площу рівнобічної трапеції, якщо вписане в неї коло точкою дотику ділить її бічну сторону на відрізки 4 см і 9 см.

ABCD — трапеція, O — центр кола, вписаного в трапецію.

K — точка дотику до сторони AB. BK = 4 см; AK = 9 см.

AB = AK + KB = 9 + 4 = 13 (см); CD = 13 см.

Якщо в чотирикутник вписано коло, то суми протилежних сторін рівні, тобто

BC + AD = AB + CD = 13 + 13 = 26 (см).

Точка O однаково віддалена від сторін кута A і від сторін кута B, тому O — точка перетину бісектрис ∠A і ∠B.

∠BAO + ∠ABO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠A + ∠B) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 180° = 90°; тому ∠BOA = 90°, тобто △ABO — прямокутний; OK ⊥ AB.

Нехай ∠KAO = α, тоді ∠KOA = 90° – α (з △OKA), ∠KBO = 90° – α (з △ABO).

Отже, △AKO ~ △OKB (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{OK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OK}}{\mathrm{KB}}}$, тоді OK² = AK · KB = 9 · 4 = 36.

OK = 6 см.

Висота трапеції NP = ON + OP = 6 + 6 = 12 (см) (ON = OP = OK = r).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · NP = ${\displaystyle \frac{26}{2}}$ · 12 = 156 (см²).

Відповідь: 156 см².