1128 Вправа 1128Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 208

1128. Знайди периметр ромба, якщо його площа дорівнює 120 см², а одна з діагоналей на 14 см більша за другу.

Дано: ABCD – ромб; S = 120 см²; AC – BD = 14 см.

Знайти: PABCD.

Розв'язання

Нехай BD = x см, тоді AC = (x + 14) см.

SABCD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · AC · BD = ${\displaystyle \frac{(\mathrm{x}+14)\cdot \mathrm{x}}{2}}$;

${\displaystyle \frac{(\mathrm{x}+14)\cdot \mathrm{x}}{2}}$ = 120;

x² + 14x = 240;

x² + 14x – 240 = 0;

D = 14² + 4 · 240 = 196 + 960 = 1156 = 34²;

x₁ = ${\displaystyle \frac{-14-34}{2}}$ = –24 — не задовольняє умову;

x₂ = ${\displaystyle \frac{-14+34}{2}}$ = 10.

BD = 10 см, AC = 10 + 14 = 24 (см).

За властивістю ромба: AC ⊥ BD.

AO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 24 = 12 (см);

BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 10 = 5 (см);

△AOB (∠O = 90°):

AB² = AO² + BO² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169;

AB = 13 см.

PABCD = 4 · AB = 4 · 13 = 52 (см).

Відповідь: 52 см.