1153 Вправа 1153Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 210

1153. Доведи, що відповідні медіани (бісектриси, висоти) рівних трикутників рівні.

AM, AL, AH — медіана, бісектриса і висота △ABC; A₁M₁, A₁L₁, A₁H₁ — відповідні медіана, бісектриса і висота △A₁B₁C₁.

Нехай △ABC = △A₁B₁C₁. Тоді AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

1) Медіани AM і A₁M₁: BM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$B₁C₁ = B₁M₁.

△ABM = △A₁B₁M₁ за двома сторонами і кутом між ними (AB = A₁B₁, BM = B₁M₁, ∠B = ∠B₁), тому AM = A₁M₁.

2) Бісектриси AL і A₁L₁: ∠BAL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠BAC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B₁A₁C₁ = ∠B₁A₁L₁.

△ABL = △A₁B₁L₁ за стороною і прилеглими кутами (AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁, ∠BAL = ∠B₁A₁L₁), тому AL = A₁L₁.

3) Висоти AH і A₁H₁: △ABH = △A₁B₁H₁ за гіпотенузою і гострим кутом (AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁), тому AH = A₁H₁.