1148 Вправа 1148Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 209

1148. Знайди площу трапеції, основи якої 24 см і 72 см, а кути при більшій основі 30° і 60°.

ABCD — трапеція, BC = 24 см; AD = 72 см, ∠A = 30°, ∠D = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD. BCMK — прямокутник, тому KM = BC = 24 см, тоді MD + AK = 72 – 24 = 48 (см).

Нехай MD = x. У △CMD ∠D = 60°, ∠DCM = 30°, тоді CD = 2MD = 2x (см).

За теоремою Піфагора CM = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{CD}²-\mathrm{MD}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{4\mathrm{x}²-\mathrm{x}²}}$ = x${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см).

BK = CM = x${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

У △ABK ∠A = 30°, тому AB = 2BK = 2x${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см).

AK² = AB² – BK² = 12x² – 3x² = 9x²;

AK = 3x.

AK + MD = 48;

3x + x = 48;

x = 12 (см).

CM = x${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 12${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · CM = ${\displaystyle \frac{24+72}{2}}$ · 12${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 48 · 12${\displaystyle \sqrt{3}}$ = 576${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см²).

Відповідь: 576${\displaystyle \sqrt{3}}$ см².