1142 Вправа 1142Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 209

1142. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою тупого кута. Знайди площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 6 см, а периметр 84 см.

ABCD — трапеція, AB = CD, BD — діагональ;

BD — бісектриса ∠B. BC = 6 см;

P = 84 см.

∠ABD = ∠DBC за умовою, ∠DBC = ∠BDA (внутрішні різносторонні при паралельних BC, AD і січній BD).

Звідси ∠ABD = ∠BDA, тому △ABD — рівнобедрений.

AB = AD;

AB = CD;

отже, AB = AD = CD.

AB + AD + CD + BC = 84;

3AB + 6 = 84;

3AB = 78;

AB = 26 (см).

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD. BC = KM, бо BCMK — прямокутник.

AK + MD = 26 – 6 = 20 (см). Оскільки AK = MD, то AK = 10 см; MD = 10 см.

Розглянемо △ABK — прямокутний.

BK = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AB}²-\mathrm{AK}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{26²-10²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{676-100}}$ = ${\displaystyle \sqrt{576}}$ = 24 (см).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ · BK = ${\displaystyle \frac{6+26}{2}}$ · 24 = 16 · 24 = 384 (см²).

Відповідь: 384 см².