731 Вправа 731Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 13 · стор. 139

731. У рівнобедреному трикутнику знайди: а) бічну сторону, якщо основа і висота, проведена до неї, дорівнюють відповідно 30 см і 20 см; б) периметр, якщо основа дорівнює 12 см, а бічна сторона на 2 см більша за висоту, проведену до основи; в) основу, якщо бічна сторона 12 см, а кут при вершині 120°.

Дано: △ABC, AB = BC, BD — висота.

а)

AC = 30 см, BD = 20 см. У рівнобедреному трикутнику висота BD також є медіаною: AD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = 15 см.

△ADB (∠D = 90°):

AB² = AD² + BD² = 225 + 400 = 625; AB = 25 см.

б)

AC = 12 см, AD = 6 см. Нехай BD = x см, тоді AB = (x + 2) см.

(x + 2)² = 6² + x²;

x² + 4x + 4 = 36 + x²;

4x = 32;

x = 8.

AB = BC = 10 см; P△ABC = 10 + 10 + 12 = 32 (см).

в)

AB = 12 см, ∠B = 120°. Висота BD є бісектрисою: ∠ABD = 60°, тоді ∠A = 30°.

BD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 6 см;

AD² = AB² – BD² = 144 – 36 = 108; AD = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$ см;

AC = 2 · AD = 12${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

Відповідь: а) 25 см; б) 32 см; в) 12${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.