775 Вправа 775Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 13 · стор. 143

775. Доведи, що квадрат найменшої медіани прямокутного трикутника менший від суми квадратів інших його медіан у 5 разів.

△ABC (∠B = 90°), BO — найменша медіана (до гіпотенузи), AK і CP — інші медіани. Доведемо, що 5BO² = AK² + CP².

BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC, тому BO² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}²}{4}}$.

△ABK:

AK² = AB² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}²}{4}}$; △PBC: CP² = BC² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}²}{4}}$.

AK² + CP² = ${\displaystyle \frac{5(\mathrm{AB}²+\mathrm{BC}²)}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{5\mathrm{AC}²}{4}}$ = 5BO², що й треба було довести.