932 Вправа 932Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

932. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а кут при основі – 30° (мал. 419). Знайдіть: 1) основу трикутника; 2) висоту, проведену до основи; 3) висоту, проведену до бічної сторони.

Дано: △ABC; AB = BC = 10 см; ∠A = 30°; BD ⊥ AC; CM ⊥ AB.

Знайти: 1) AC; 2) BD; 3) CM.

Розв'язання

1) У △ADB (∠D = 90°): cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AB}}}$;

AD = AB · cos A = 10 cos 30° = 10 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

Висота BD рівнобедреного трикутника є медіаною, тому

AC = 2 · AD = 2 · 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 10${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

2) У △ADB (∠D = 90°): sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{AB}}}$;

BD = AB · sin A = 10 · sin 30° = 10 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 5 (см).

3) ∠B = 180° – 2 · 30° = 120° – тупий кут.

Тому висота CM, проведена до бічної сторони AB, лежить на продовженні сторони AB.

У △AMC (∠M = 90°): sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CM}}{\mathbf{AC}}}$;

CM = AC · sin A = 10${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: 1) 10${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см; 2) 5 см; 3) 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см.