964 Вправа 964Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

964. Дві висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, дорівнюють 5 см і 12 см, а кут між ними – 150°. Знайдіть сторони паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм; AK = 5 см; AM = 12 см; ∠KAM = 150°.

Знайти: AB, AD.

Розв'язання

Кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма.

∠B = ∠KAM = 150°.

∠BAD = 180° – ∠B = 180° – 150° = 30°.

∠KBA = ∠BAD = 30° (внутрішні різносторонні кути при KB ∥ AD і січній AB).

У △AKB (∠K = 90°): sin ∠KBA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{sin}\angle \mathbf{KBA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{sin}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}}$ = 10 (см).

∠ADM = ∠BAD = 30° (внутрішні різносторонні кути при AB ∥ MD і січній AD).

У △AMD (∠M = 90°): sin ∠ADM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AD}}}$;

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{sin}\angle \mathbf{ADM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{sin}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}}$ = 24 (см).

Відповідь: 10 см і 24 см.