959 Вправа 959Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

959. Гострий кут між діагоналями прямокутника дорівнює α, а сторона, що лежить проти цього кута, – a. Знайдіть: 1) іншу сторону прямокутника; 2) діагональ прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник; ∠AOB = α, AB = a.

Знайти: 1) AD; 2) BD.

Розв'язання

1) △AOB – рівнобедрений (OA = OB).

Висота OK є медіаною і бісектрисою.

У △BKO (∠K = 90°): ∠BOK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠AOB = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$;

BK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

tg ∠BOK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{KO}}}$;

KO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{tg}\angle \mathbf{BOK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

AD = 2 · KO = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

2) sin ∠BOK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{OB}}}$;

OB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{sin}\angle \mathbf{BOK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{sin}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

BD = 2 · OB = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{sin}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{sin}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

Відповідь: 1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$; 2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{sin}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.