951 Вправа 951Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 186

951. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а кут між бічними сторонами – α. Знайдіть: 1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

Дано: △ABC; AB = BC; ∠B = α; AC = a.

Знайти: 1) BD; 2) AB.

Розв'язання

1) Висота BD у рівнобедреному трикутнику є бісектрисою і медіаною:

∠ABD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$;

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

У △ADB (∠D = 90°): tg ∠ABD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{BD}}}$;

BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{tg}\angle \mathbf{ABD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

2) У △ADB (∠D = 90°): sin ∠ABD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{sin}\angle \mathbf{ABD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{sin}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

Відповідь: 1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$; 2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}\mathbf{sin}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.