942 Вправа 942Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

942. Із точки, що розташована на відстані 5 см від прямої, проведено дві похилі, які утворюють із прямою кути 45° і 30°. Знайдіть: 1) похилі; 2) проєкції похилих на пряму.

Дано: AB = 5 см – перпендикуляр; AC, AD – похилі; ∠C = 45°; ∠D = 30°.

Знайти: 1) AC, AD; 2) BC, BD.

Розв'язання

1) У △ABC (∠B = 90°): sin C = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AC}}}$;

AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{sin}{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{2}}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ (см).

У △ABD (∠B = 90°):

AD = 2AB = 2 · 5 = 10 (см) (катет AB лежить проти кута 30°).

2) У △ABC: ∠BAC = 90° – 45° = 45° = ∠C, тому BC = AB = 5 см.

У △ABD: tg D = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{BD}}}$;

BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{tg}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{15}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: 1) 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ см і 10 см; 2) 5 см і 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см.