936 Вправа 936Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

936. Сторона ромба дорівнює 4 см, а один із його кутів – 60°. Знайдіть діагоналі ромба.

Дано: ABCD – ромб; AB = 4 см; ∠A = 60°.

Знайти: AC, BD.

Розв'язання

Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і є бісектрисами його кутів:

∠OAB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 60° = 30°.

У △AOB (∠O = 90°): cos ∠OAB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OA}}{\mathbf{AB}}}$;

OA = AB · cos 30° = 4 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см);

AC = 2 · OA = 2 · 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

sin ∠OAB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OB}}{\mathbf{AB}}}$;

OB = AB · sin 30° = 4 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 2 (см);

BD = 2 · OB = 2 · 2 = 4 (см).

Відповідь: 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см і 4 см.