960 Вправа 960Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

960. Більша діагональ ромба дорівнює d, а його гострий кут – α. Знайдіть: 1) сторону ромба; 2) меншу діагональ ромба.

Дано: ABCD – ромб; AC = d; ∠A = α.

Знайти: 1) AD; 2) BD.

Розв'язання

1) За властивістю ромба:

AC ⊥ BD;

∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

У △AOD (∠O = 90°): AO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{2}}}$.

cos ∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OA}}{\mathbf{AD}}}$;

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OA}}{\mathbf{cos}\angle \mathbf{OAD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{2}\mathbf{cos}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

2) tg ∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{OA}}}$;

OD = OA · tg ∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{2}}}$ · tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$;

BD = 2 · OD = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{2}}}$ · tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$ = d tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

Відповідь: 1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{d}}{\mathbf{2}\mathbf{cos}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$; 2) d tg ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.