933 Вправа 933Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

933. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см, а кут трикутника: 1) 30°; 2) 45°.

Дано: △ABC (∠C = 90°); CM = 8 см – медіана.

Знайти: AC, BC.

Розв'язання

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому

AB = 2 · CM = 2 · 8 = 16 (см).

1) ∠A = 30°.

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AB}}}$;

AC = AB · cos A = 16 · cos 30° = 16 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см);

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{AB}}}$;

BC = AB · sin A = 16 · sin 30° = 16 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 8 (см).

2) ∠A = 45°.

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AB}}}$;

AC = AB · cos A = 16 · cos 45° = 16 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ = 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ (см);

∠B = 90° – 45° = 45° = ∠A, тоді BC = AC = 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ см.

Відповідь: 1) 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см і 8 см; 2) 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ см і 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ см.