939 Вправа 939Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

939. Знайдіть радіус r кола, вписаного в рівносторонній трикутник, і радіус R кола, описаного навколо цього трикутника, якщо сторона трикутника дорівнює a.

Дано: △ABC; AB = BC = AC = a.

Знайти: R; r.

Розв'язання

∠A = ∠B = ∠C = 60°.

O – центр вписаного й описаного кіл (точка перетину бісектрис, медіан і висот).

OB = R, OM = r, OM ⊥ BC.

∠OBM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 60° = 30°.

AM є медіаною, висотою та бісектрисою △ABC, тому BM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

У △OMB (∠M = 90°): cos ∠OBM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BM}}{\mathbf{OB}}}$;

OB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BM}}{\mathbf{cos}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}}$;

R = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}}$.

tg ∠OBM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OM}}{\mathbf{BM}}}$;

OM = BM · tg 30° = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{6}}}$;

r = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{6}}}$.

Відповідь: r = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{6}}}$; R = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}}$.