965 Вправа 965Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

Умова

Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ.

Розв'язок

965. Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r, а кути трикутника дорівнюють α, β, γ.

Графік

Дано: △ABC – описаний навколо кола; ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ; OK = OM = OP = r.

Знайти: AB, BC, AC.

Розв'язання

Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника.

У △AKO (∠K = 90°): ∠OAK = $\frac{1}{2}$ ∠A = $\frac{α}{2}$ .

tg ∠OAK = $\frac{OK}{AK}$ ;

AK = $\frac{OK}{tg ∠ OAK}$ = $\frac{r}{tg \frac{α}{2}}$ ;

AP = AK = $\frac{r}{tg \frac{α}{2}}$ (відрізки дотичних).

Аналогічно, у △BKO (∠K = 90°): KB = $\frac{r}{tg \frac{β}{2}}$ ;

BM = KB = $\frac{r}{tg \frac{β}{2}}$ .

У △CMO (∠M = 90°): MC = $\frac{r}{tg \frac{γ}{2}}$ ;

PC = MC = $\frac{r}{tg \frac{γ}{2}}$ .

AB = AK + KB = r( $\frac{1}{tg \frac{α}{2}}$ + $\frac{1}{tg \frac{β}{2}}$ );

BC = BM + MC = r( $\frac{1}{tg \frac{β}{2}}$ + $\frac{1}{tg \frac{γ}{2}}$ );

AC = AP + PC = r( $\frac{1}{tg \frac{α}{2}}$ + $\frac{1}{tg \frac{γ}{2}}$ ).

Відповідь: r( $\frac{1}{tg \frac{α}{2}}$ + $\frac{1}{tg \frac{β}{2}}$ ), r( $\frac{1}{tg \frac{β}{2}}$ + $\frac{1}{tg \frac{γ}{2}}$ ), r( $\frac{1}{tg \frac{α}{2}}$ + $\frac{1}{tg \frac{γ}{2}}$ ).

Відкрити на сторінці 187 підручника →

965 Вправа 965Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

Умова

Розв'язок

Інші вправи: § 16

Знайшли помилку?