938 Вправа 938Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

938. Діагональ паралелограма дорівнює 12 см і перпендикулярна до його сторони. Знайдіть сторони паралелограма, якщо один із його кутів дорівнює: 1) 30°; 2) 45°.

Дано: ABCD – паралелограм; BD ⊥ AB; BD = 12 см.

Знайти: AB, AD.

Розв'язання

1) ∠A = 30°.

У △ABD (∠B = 90°): tg A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{tg}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{36}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{36}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}}$ = 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см);

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AD}}}$;

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{cos}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{cos}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = 24 (см).

2) ∠A = 45°.

У △ABD (∠B = 90°): ∠ADB = 90° – 45° = 45° = ∠A.

Тоді △ABD – рівнобедрений: AB = BD = 12 см.

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AD}}}$;

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{cos}{\mathbf{45}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}}{\sqrt{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ = 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ (см).

Відповідь: 1) 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см і 24 см; 2) 12 см і 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$ см.