937 Вправа 937Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

937. Більша діагональ ромба дорівнює 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см, а один із його кутів – 120°. Знайдіть сторону й меншу діагональ ромба.

Дано: ABCD – ромб; ∠B = 120°; AC = 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см.

Знайти: AB, BD.

Розв'язання

За властивістю ромба:

∠ABO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 120° = 60°;

AO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 12${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 6${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

У △AOB (∠O = 90°): tg ∠ABO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{BO}}}$;

BO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{tg}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\sqrt{\mathbf{3}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = 6 (см);

BD = 2 · BO = 2 · 6 = 12 (см).

За теоремою Піфагора:

AB = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{AO}²\mathbf{+}\mathbf{BO}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\mathbf{6}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}²\mathbf{+}\mathbf{6}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{108}\mathbf{+}\mathbf{36}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{144}}}$ = 12 (см).

Відповідь: сторона 12 см, менша діагональ 12 см.