956 Вправа 956Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

956. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює α, а радіус вписаного кола – r. Знайдіть: 1) основу трикутника; 2) бічну сторону трикутника.

Дано: △ABC – рівнобедрений, описаний навколо кола; ∠A = α; OK = r.

Знайти: 1) AC; 2) AB.

Розв'язання

1) Висота BK є медіаною.

Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис.

У △AKO (∠K = 90°): ∠OAK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

tg ∠OAK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OK}}{\mathbf{AK}}}$;

AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OK}}{\mathbf{tg}\angle \mathbf{OAK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{r}}{\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$;

AC = 2AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{r}}{\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

2) У △AKB (∠K = 90°): cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{cos}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{r}}{\mathbf{cos}\mathit{\alpha }\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.

Відповідь: 1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{r}}{\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$; 2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{r}}{\mathbf{cos}\mathit{\alpha }\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}}$.