941 Вправа 941Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

941. Знайдіть відношення діаметрів кіл, вписаного в квадрат й описаного навколо цього квадрата.

Дано: ABCD – квадрат; O – центр вписаного й описаного кіл.

Знайти: 2r : 2R.

Розв'язання

r = OM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB;

R = OD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD.

У △BAD (∠A = 90°): ∠D = ∠B = 90° : 2 = 45°.

sin 45° = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{BD}}}$;

${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{BD}}}$.

${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{r}}{\mathbf{2}\mathbf{R}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{AB}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{BD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{BD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}}$.

Відповідь: 1 : ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$.