934 Вправа 934Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 185

934. За даними, наведеними на малюнках 420, 421, знайдіть довжини відрізків AD і CD.

Мал. 420

У △BAC (∠A = 90°): tg 60° = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AB}}}$;

AC = AB · tg 60° = 4 · ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

У △ADC (∠D = 90°, ∠ACD = 30°):

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см) (катет, що лежить проти кута 30°).

cos 30° = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CD}}{\mathbf{AC}}}$;

CD = AC · cos 30° = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 6 (см).

Мал. 421

ABKD – прямокутник, у якого AB = AD, тобто квадрат.

AD = BK.

У △BKC (∠K = 90°): sin 60° = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{BC}}}$;

BK = BC · sin 60° = 8 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см);

AD = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см.

cos 60° = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KC}}{\mathbf{BC}}}$;

KC = BC · cos 60° = 8 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 4 (см).

DK = AD = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см;

CD = DK + KC = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ + 4 = 4(1 + ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$) (см).

Відповідь: мал. 420 – AD = 2${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см, CD = 6 см; мал. 421 – AD = 4${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см, CD = 4(1 + ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$) см.