957 Вправа 957Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 16 · стор. 187

957. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює h, а кут при основі – α. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник.

Дано: △ABC – рівнобедрений, описаний навколо кола; BD = h; ∠A = α.

Знайти: r.

Розв'язання

Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис.

У △ADB (∠D = 90°): tg A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{AD}}}$;

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{tg}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$.

У △ADO (∠D = 90°): ∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

tg ∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{AD}}}$;

OD = AD · tg ∠OAD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$;

r = ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}\mathbf{tg}\frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$.