1235 Вправа 1235Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі для повторення · стор. 236

1235. На продовженнях діагоналі AC квадрата ABCD взято точки M і N так, що AM = CN. Доведи, що MBND — ромб, і знайди його периметр, якщо AC = 16 см і ∠ABM : ∠ABD = 1 : 3.

Дано: квадрат ABCD; AM = CN; AC = 16 см; ∠ABM : ∠ABD = 1 : 3.

Довести: MBND – ромб; знайти PMBND.

Доведення

У квадраті ABCD: AC = BD, AC ⊥ BD, AO = OC = BO = OD.

MO = AO + AM; NO = OC + CN ⇒ MO = NO.

BO = OD, MO = NO ⇒ MBND — паралелограм.

AC ⊥ BD, MN лежить на AC ⇒ MN ⊥ BD. Отже, MBND — ромб.

Розв'язання

BD — бісектриса ∠B квадрата, тоді ∠ABD = 45°.

∠ABM = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$∠ABD = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ · 45° = 15°.

∠MBO = ∠ABD + ∠ABM = 45° + 15° = 60°.

△MOB (∠O = 90°):

∠BMO = 90° – 60° = 30°.

BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$MB — за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

BO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = 8 см; MB = 2 · BO = 16 (см).

PMBND = 4 · MB = 4 · 16 = 64 (см).

Відповідь: 64 см.